[확률 이야기] 한번 굴렸을 때 한정신이 나올 확률, 몇번굴려야 내가 원하는게 나올까?
서문
이 글을 적는 이유는 단순히 잠이 안와섭니다...
자게에서 한정신 확률을 더해도 되는가 아닌가를 이야기하다가 저도 잠시 헷갈렸고, 더하면 안된다는 분들이 꽤 계신것같아서 적어봅니다.
처음적었을 때 밑의 것을 언급 안한 이유는 그 글을 작성하셨던 분들이 보기 불편해 하실 수도 있을 것 같아서 안적었습니다만 당연한게 아닌가? 하는 분들이 계셔서 적어봅니다.
한번 굴렸을 때 한정신 확률을 독립사건처럼 계산하는 분들이 있는가 하면(한번 굴렸을 때 한정신이 나올 확률을 1-(0.98)^5*(0.9998)^7로 계산하시는 분들이 계셨습니다.), 한번 시행의 정의를 제대로 하지 못하시는 분들이 있어서 '왜 그렇게 하면 안되는가'에 대해 적어보고자합니다.
한번 굴렸을 때 각 신이 나올 확률은 독립인가? No~
독립이라는 것에 대한 정의를 잘 모르시는 분들이 많으신 것 같습니다. 사실 좀 이해하기 힘듭니다. 한국어로 알기 쉽게 정의하면 사건 A가 일어나는 것에 상관 없이 사건 B가 일어날 때, A와 B를 서로 독립이라고 합니다.
추신) In probability theory, to say that two events are independent (alternatively called statistically independent or stochastically independent )[1] means that the occurrence of one does not affect the probability of the other.
by wiki
제가 가지고 있는 확률관련 서적에도 '동시에 일어날 수 있어야한다'라거나 '연속적으로 일어난'이라는 이야기가 없네요.
혹시 그런 서적을 언급해주신다면 수정하겠습니다. 물론 여기서 말하는 서적은 최소한 대학에서 다루는 수준 이상의 책이어야겠지요.(고등학교 수준의 서적은 편의를 위해서 정의를 상당히 축소시킨 경우가 많습니다.)
이를 수식으로 나타내면 P[B|A]=P[B] or P[B|~A] = P[B]입니다.
이를 이용해서 각 신이 나올 확률이 독립이 아니라는 것을 보일 수 있습니다.
대부분의 서적에서 독립사건을 동치인 P[AB] = P[A] P[B]로 정의합니다만, 사실 이것은 위의 의미상의 정의에서 조건부 확률의 선행 사건에 대한 확률이 0일때도 독립인지 아닌지를 판별하기 위한 formal한 정의입니다.
p.s. 조건부확률에 대해 추가해달라는 의견이 있어서 적습니다. 조건부 확률이란, 사건 A가 일어났을 때 B가 일어날 확률을 말합니다. 표기는 P[B|A]로 하고 이는 P[A&B]/P[A]의 값을 가집니다.
Claim) 한번 굴렸을 때 백타가 나올 확률과 흑타가 나올 확률은 독립이 아니다.
먼저 한번 굴려서 백타와 흑타가 나올 확률이 서로 독립이라고 가정해봅시다.
그럼 필연적으로, P[흑타가 나옴|백타가 나옴]=P[흑타가 나옴]이여야 합니다. 백타가 나왔는데 흑타가 나올 확률이 존재한다는 거죠... 모순이 생겼으므로, 가정이 틀렸습니다. 따라서 각 신이 나올 확률은 독립이 아닙니다.
2%한정신 A와 B가 한번 굴렸을 때 나올 확률을 1-0.98^2으로 생각하시는 분들이 계시던데, 이것도 한정신 A가 나오지 않을 확률과 한정신 B가 나오지 않을 확률이 독립이라고 가정하고 곱한것입니다. 즉, P[~A&~B]=P[~A]*P[~B]=0.98^2에서 위와 같은 식이 도출 되었다는 것입니다. 따라서 위의 식은 적절하지 않습니다.
어떤 분은 스업할 확률하고 비교하시던데, 스업은 한번에 여러번 스업이 가능하지만 가챠는 한번에 반드시 하나의 몬스터만 나오기 때문에 이 두개가 같다고 볼 수 없습니다. 즉, 각 신의 확률이 독립적이지 못하다는 거죠. 반드시 P[A|B]=0이여야 하기 때문에 서로의 공통된 부분이 없어야합니다.
이 경우에는 마치 한번에 레어에그를 5번 굴리는것과 유사합니다. 즉, 사건을 '스작몹 5개를 한번에 먹였을 때'로 정의한 것이지요. 이게 왜 5번을 한번씩 따로 따로 굴리는것과 차이가 있느냐는 분들이 있는데, 확률적인 수치상으로는 같습니다. 하지만 대부분의 통계에서 '원하는게 나올 경우' 시행을 중단하는 경우가 많습니다. 그것에 대한 것은 geometric distribution이라는 분류로 따로 취급을 합니다. 즉, 시행하는 도중에 중단을 할 수가 없습니다. 그래서 통계적인 의미가 전혀 다르며, 따로따로 분류를 해주는 것이 맞습니다. 참고로 5개를 한번에 굴리는 시행같은 경우는 binomial distribution에 포함되게 되며 1에서 하나도 나오지 않을 경우를 빼면 됩니다.
이로부터 추론해 보건데 가챠를 한다는 것은 각 몹이 나올 확률에 비례한 면적으로 땅따먹기 된 테이블에서(서로 겹치는 곳이 없어야하고, 가챠를 굴렸을 때 몹이 안나오진 않으므로) 랜덤으로 점을 찍었을때 걸리는 몹이 당첨되서 나오게 될것이라는 것을 짐작해 볼 수 있습니다.
따라서 '한번 굴려서' 한정신이 나올 확률은 테이블에서 한정신이나올 테이블의 면적을 모두 더한 후, 총 면적으로 나누면 되겠죠. 즉, 다시말하면 한 번 굴려서 한정신이 나올 확률은 각각의 한정신이 나올 확률을 더하면 된다는 겁니다.
한정신이 나오려면 얼마나 굴려야할까?
각 시행은 독립이기 때문에 n번 굴려서 한정신이 나올확률은 다음과 같습니다.
1-(1-한번 굴려서 한정신이 나올 확률)^n
이 식으로부터, 한정신 나올 확률이 90%이상인 n을 구하면 19회입니다.(확률을 11.4%로 생각)
원하는 신이 나오려면 몇 셋이 필요한거지?
유사하게 원하는 신이 나올 확률이 2%라고 가정하면(일반신도 3배해야 2%정도인걸로 통계가 나오는 것 같네요.)
원하는 신이 나올 확률이 90%이상인 n을 구하면 115회입니다.
즉, 대략 6.8셋. 저격은 미친짓인걸로...
결론
한번 굴렸을 때는 그냥 더하면 됩니다. 그리고 황금용님이 점지해주시는걸 받으면 됩니다. 모든 것은 황금용님이...
제가 걍 더하면 된다니까 어떤분이 독립확률로 계산해야한다는 댓글에 공감이 4개나 달려서 저도 헷갈려서 논리적으로 접근해봤습니다만 역시 독립이 아닙니다.
그냥 맘편하게 더하세요!! 확률이 몇펀지는 겅호만이 알겠습니다만...
원래 이렇게 어렵게 적을 글이아니였는데 댓글들에서 클레임이 마구 들어와서 어려워졌네요...
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- 에러 BEST 11.12.19 10:39 삭제 공감5
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